Pompas de jabón y geometría

El profesor de matemáticas Anton Aubanell Pou, del IES Sa Palomera de la localidad de Blanes (Girona), utiliza las pompas de jabón para explicar geometría a sus alumnos. El líquido utilizado para hacer pompas de jabón está formado por agua (50%), jabón líquido de lavavajillas tipo Fairy (40%) y glicerina (10%). Para poder sumergir las estructuras que se comentan a continuación se necesita un recipiente suficientemente grande.

Se utilizan estructuras de dos tipos:

• Estructuras planas (B), formadas por dos rectangulos de plástico transparente (metacrilato) unidos mediante tornillos que los mantienen paralelos y separados unos centímetros. Estos tornillos se colocan formando diferentes figuras geométricas (triángulo, rectángulo, hexágono…).
• Estructuras poliédricas(A). Estas estructuras se pueden construir con alambre, hilo de cobre o pajitas para beber. Hay un producto de plástico llamado Zoma System que es muy útil para hacer estas figuras. Es conveniente que las aristas de estas estructuras no sean mayores de 10-12 cm.
• Para visualizar las formas obtenidas con las pompas de jabón en las estructuras planas se utiliza un proyector de transparencias.

Los líquidos tienen tendencia a reducir al mínimo su superficie exterior, gracias a la llamada tensión superficial. Es esta la razón de que las gotas de los líquidos sean esféricas, ya que para un volumen dado, la esfera es la figura que tiene una superficie exterior más pequeña.

El jabón produce la disminución de la tensión superficial de los líquidos, permitiendo su laminación en superficies mínimas, es decir, de menor área que cualquier otra superficie que se pueda inscribir en la misma estructura.

Para mostrar el efecto de la tensión superficial se dispone un alambre de hierro en forma de herradura y se ata un hilo, o cuerda fina, a sus extremos, de forma que no quede tenso. Si se introduce este montaje en el agua jabonosa, la tensión superficial estira del hilo hacia arriba para conseguir que la superficie ocupada por el agua sea mínima. Esta experiencia se muestra en la fotografía siguiente.

Con una placa plana sujeta mediante tres tornillos, que forman entre sí un triángulo, se puede conseguir que las superficies del agua, (que en el proyector de transparencias se verán como lineas negras), una vez metida la placa en el agua jabonosa, determinen el llamado Punto de Fermat. Llamamos así a aquel punto, del interior del triángulo, desde el que la suma de las distancias a los tres vértices es mínima. Los tres ángulos formados entre las lineas que confluyen en este punto son de 120º. En la siguiente fotografía se ve este punto proyectado sobre la pantalla.

Con la experiencia siguiente se resuelve el llamado problema de Stelner para cuatro puntos. Se utiliza una placa plana con cuatro tornillos formando un rectángulo. En un primer momento podríamos pensar que el camino más corto entre los cuatro vértices del rectángulo sería el formado por las dos diagonales. Al introducir la placa en el líquido jabonoso y proyectar su imagen sobre la pantalla, las pompas de jabón nos dan la solución, una especie de "H" en la que todos sus ángulos vuelven a ser de 120º. Si comprobamos las distancias resulta ser éste el camino más corto para una comunicación entre los cuatro vértices. En la siguiente fotografía se muestra este caso.

Si trabajamos ahora con una placa plana unida con seis tornillos, formando un hexágono regular, y la introducimos en el líquido jabonoso, y posteriormente, le añadimos el lado del hexágono que le falta, estaremos en condiciones de iniciar el proceso. A continuación, sí absorbemos parte del aire interior mediante una pajita, obtendremos la figura representada en la siguiente fotografía.