Cálculo de la resistencia de una viga

En el libro "Tratado elemental de mecánica aplicada" (J.A. Bocquet, Editorial Gustavo Gili, Barcelona, 1945 (Traducido por el Dr. Eduardo Fontseré)) se encuentran numerosos ejercicios resueltos de cálculo de elementos de máquinas y estructuras. Entre estos ejercicios se encuentran algunos que permiten calcular las dimensiones y resistencia de las vigas.

Las vigas son elementos estructurales que han de soportar esfuerzos de flexión.

Para el cálculo de una viga, considerando los esfuerzos de flexión que ha de soportar, se puede usar la fórmula siguiente:

En la fórmula M es el momento de las fuerzas exteriores que producen la flexión en una sección determinada de la viga, Z es el módulo de la sección y R es el valor de la resistencia del material a tracción.

Los siguientes grabados muestran las fórmulas que nos permiten calcular el momento de las fuerzas exteriores M para distintos tipos de vigas. Este momento depende del peso que ha de soportar la viga, de como está situado a lo largo de la misma y de su longitud. Mientras más larga es la viga y mayor es el peso que ha de soportar, mayor será el valor del momento M. El primer grabado se refiere al caso de vigas en voladizo.

A continuación se pueden ver diferentes casos de vigas apoyadas en dos puntos.

Por último se muestran las diferentes situaciones de vigas empotradas por sus extremos.

El módulo de la sección Z (Momento de inercia de la sección) depende de la forma geométrica que tenga la sección de la viga y de sus dimensiones. El siguiente grabado muestra las fórmulas para calcular el módulo de la sección Z y su superficie, en el caso de secciones rectangulares y cuadradas huecas.

El siguiente grabado muestra la forma de realizar el cálculo de Z para secciones circulares y circulares huecas (Tubos).

Por último se muestra la fórmula que permite calcular Z para secciones rectangulares huecas, en doble T y en U, que son perfiles habituales en arquitectura e ingeniería.

1º.- ¿Qué sección ha de tener una viga cuadrada de madera, empotrada por un extremo y cargada con 1.200 Kg a 1,5 metros del muro de empotramiento?

Se toma como valor de la resistencia del material R, 60 Kg por centímetro cuadrado (Se trata de un valor práctico o de seguridad, que en este caso es la décima parte del límite de rotura).

Aplicando la fórmula R Z = M y sustituyendo M por su valor será:

R Z = P l

Las unidades utilizadas son el Kg y el centímetro. Sustituyendo las letras por sus valores resultará (En el caso de una sección cuadrada Z = 1/6 C ³, en donde C es el lado del cuadrado):

60 (C ³ /6) = 1200 . 150

Despejando C ³:

C ³ = 1200 . 150 . 6 / 60

Calculando la raiz cúbica resulta:

C = 26 Cm

2º.- Una viga hueca de hierro, uniformemente cargada con un peso de 500 kilogramos por metro de longitud, tiene la forma de un tubo cuyo diámetro interior es igual a los 2/3 del diámetro exterior. La viga tiene 4 metros de longitud. Calcular los diámetros interior y exterior del tubo.

Para un tubo Z es igual a:

Z = (π /32) . [(D⁴ - d⁴) / D]

Teniendo en cuenta que además:

d = (2 /3) . d

Entonces resulta que:

Z = 0,098 . (D⁴) - [(2/3) . D]⁴) ) /D

y

Z = 0,098 . D³ [1 - (2/3)⁴]

y

Z = 0,78 D³

El valor de la resistencia a la tracción R = 600 kilogramos por centímetro cuadrado, y cada centímetro de longitud del tubo sostiene 5 Kg, por lo que aplicando la fórmula R Z = M para este caso resultará:

600 . 0,78 . D³ = 5 . (400² /2)

Despejando D³ resulta:

D³ = 8.547

D = 21 centímetros

d = 14 centímetros

Espesor de pared del tubo = 3,5 centímetros

3º.- Un techo, sostenido por una viga de hierro en doble T, produce sobre ésta una carga uniforme de 420 kilogramos por metro de longitud, siendo de 5 metros la distancia entre los muros en que está apoyada la viga. ¿Qué dimensiones habrá que adoptar para esta viga en doble T?

En este caso R = 600 kilogramos por centímetro cuadrado y 4,2 Kg la carga que ha de soportar la viga por cada centímetro de su longitud.

Aplicando la fórmula R Z = M resulta:

600 . Z = 4,2 . (500² /8)

y

Z = 218,75

Buscando este módulo en las tablas proporcionadas por los fabricantes de vigas, se puede comprobar que las vigas de hierro en doble T, de 18 centímetros de altura y alas anchas, tienen aproximadamente el mismo módulo. Podremos pues adoptar una de dichas vigas.