La máquina de Wimshurst como circuito eléctrico
Horacio Munguía Aguilar
Departamento de Física, Universidad de Sonora,
INTRODUCCIÓN
La máquina de Wimshurst es uno de esos dispositivos con amplia presencia en todos los laboratorios de electricidad básica. Para la generación de carga electrostática, se prefiere por su simplicidad, fiabilidad y elegancia. A diferencia del generador de Van de Graaff, sus problemas de mantenimiento son menores.
Irónicamente, sin embargo, el principal problema en el contexto docente es que su principio de funcionamiento es más difícil de explicar que el del generador de Van de Graaff.
El funcionamiento de una máquina de Wimshurst, en cualquiera de sus versiones, se basa en dos conceptos: transferencia de carga por inducción electrostática y almacenamiento de carga en un condensador. Una tercera idea permite el funcionamiento de una máquina de Wimshurst: la regeneración electrostática o, en términos modernos, retroalimentación eléctrica positiva.
No proporcionaremos una descripción exhaustiva del funcionamiento de la máquina de Wimshurst, ya que existen numerosas referencias relevantes al respecto [1, 2]. Simplemente resumiremos las características esenciales de su funcionamiento y las trasladaremos a un circuito eléctrico equivalente que consideramos que mejorará su comprensión.
FUNCIONAMIENTO DE LA MÁQUINA DE WIMSHURST
Aunque existen varias versiones de la máquina de Wimshurst, nos centraremos en una de las más conocidas, que se muestra en la figura 1.
FIGURA 1. La clásica máquina de Wimshurst.
La clásica máquina de Wimshurst consta de dos discos paralelos no conductores que giran en direcciones opuestas sobre un eje común accionado por una manivela. Estos discos tienen fijadas en sus caras externas una serie de tiras metálicas orientadas radialmente. La placa interior de dos botellas de Leyden contacta con las tiras mediante escobillas que actúan como conmutadores al girar los discos. (Otros modelos no utilizan escobillas, sino un peine inductivo). De estas placas salen dos varillas cuyos extremos generan chispas de alto voltaje al acercarse lo suficiente. Las placas exteriores de las botellas contactan mediante un cable de tierra. Cada disco tiene una varilla metálica cruzada que une las tiras, colocadas diametralmente, mediante escobillas. Las varillas se denominan barras neutralizadoras.
Estas barras tienen forma de X vistas de frente. La figura 2 muestra un esquema de la máquina: el disco delantero con su barra estabilizadora Y-Y’; la barra Z-Z’ es del disco trasero.
FIGURA 2. Esquema de la máquina de Wimshurst.
Supongamos que inicialmente hay una carga +Q0 en una tira del disco frontal y otra carga -Q0 en la tira correspondiente del disco trasero. Al girar los discos, las tiras cargadas inducen una carga de signo opuesto en las tiras frontales que se cruzan en su camino. Al tocar estas tiras la escobilla de sus respectivas varillas, esta se neutraliza con la carga proveniente de la tira del extremo opuesto del mismo disco; simultáneamente, las tiras correspondientes del otro disco inducen carga sobre las tiras neutralizadas, invirtiendo su polaridad y amplificando su magnitud. A medida que los discos giran, acumulan progresivamente más carga. Se observa entonces un proceso cíclico en el que la mitad de las tiras de cada disco alternan su polaridad al tocar los extremos de sus barras neutralizadas. La botella derecha acumula carga positiva al hacer contacto su escobilla con las tiras derechas de ambos discos, y la botella izquierda acumula carga negativa al hacer contacto su escobilla con las tiras izquierdas de ambos discos. Cuando la densidad de carga en los electrodos de salida alcanza un nivel suficientemente alto, se produce una ruptura dieléctrica y se genera una chispa. Cabe destacar que el aumento de carga en las botellas de Leyden se debe a dos factores: la transferencia constante de carga proveniente de las tiras y el aumento continuo de la magnitud de estas cargas debido a la regeneración realizada por las barras neutralizadoras. Por lo tanto, esta es la explicación cualitativa básica del funcionamiento de la máquina de Wimshurst.
CIRCUITO EQUIVALENTE
Es posible realizar un análisis matemático del comportamiento físico de una máquina de Wimshurst basándose únicamente en la descripción de sus mecanismos de inducción y carga ya descritos, pero esto no es fácil de realizar ni de explicar [3]. Por otro lado, parecería extraño suponer que la máquina de Wimshurst pueda representarse como un circuito eléctrico. No se observa ninguna estructura que contenga nodos de corriente ni caminos cerrados; sin embargo, se puede suponer que sus elementos son condensadores en un proceso de conmutación periódica.
Dado que las botellas de Leyden en una máquina de Wimshurst son condensadores que se recargan periódicamente a través de las tiras metálicas de los discos, y estas, a su vez, pueden considerarse condensadores dado que almacenan cargas, sería natural considerar las salidas de la máquina de Wimshurst como un condensador C que se carga periódicamente mediante condensadores Ci más pequeños. Estos últimos se refieren a la capacitancia entre cada tira y tierra. Para representar el mecanismo de carga haremos uso del circuito mostrado en la figura 3. En ésta, tenemos un condensador C con una carga inicial Q que es recargado por otro condensador Ci que también lleva una carga Q0; la recarga – transferencia de carga - se realiza a través del interruptor S.
FIGURA 3. Recarga del condensador C desde otro condensador Ci.
Las tensiones correspondientes de los condensadores son V = Q/C y Vi = Q0/Ci. Cuando el interruptor S cierra los condensadores, estos permanecen en paralelo y redistribuyen su carga. Su tensión común será:
Si C>>Ci el aumento de voltaje será:
Si ahora se abre el interruptor S, el condensador C conservará una ganancia de tensión dada por la ecuación (2). De nuevo, si se recarga el condensador Ci con una carga similar a Q0 y se repite el proceso cerrando y abriendo el interruptor, la ganancia de tensión será el doble de la indicada por la ecuación (2). Tras repetir este proceso n veces, el aumento de tensión final en el condensador C será:
Obviamente, la ganancia de carga es nQ0. Tenga en cuenta que si no se cumple la condición C>>Ci, la ganancia de voltaje podría no ocurrir. Todo dependería de la magnitud de Q0.
Ahora, observe el circuito de la figura 4 que muestra las conexiones entre la botella de Leyden, los condensadores Cp y Cn, y las tiras metálicas representadas por los condensadores Cx y Cy.
Los condensadores Cx son las tiras que tocan Cp a través de las escobillas representadas por el interruptor giratorio Sp; los condensadores Cy son las tiras que tocan Cn a través de las escobillas representadas por el interruptor giratorio Sn.
FIGURA 4 Proceso de cambio entre las tiras metálicas y las botellas de Leyden.
Este circuito muestra que el proceso de carga de Cp y Cn es similar al mostrado en la figura 3; la única diferencia es que, en este caso, estos condensadores reciben carga de múltiples condensadores en una secuencia de conmutación: Cx en un extremo y Cy en el otro.
Supongamos que las tiras tienen una carga constante Q0, que la frecuencia de rotación del disco es de F vueltas por segundo y que hay m tiras por disco; por lo tanto, el aumento de voltaje en los condensadores Cp y Cn por segundo, según la ecuación (3), será:
Lo cual corresponde a un aumento de carga de mFQ0 cada segundo. Este aumento de carga puede interpretarse como una inyección de corriente i en los condensadores de salida. La magnitud de la corriente es
Para incluir el proceso de inyección y el consiguiente aumento de tensión en los condensadores Cp y Cn, sustituiremos los condensadores inductores Cx y Cy y el interruptor por una fuente de corriente, como se puede observar en la figura 5.
Teniendo en cuenta que en un condensador i = CdV/dt, la fuente de corriente produce una tensión incremental lineal siempre que mFQ0 permanezca constante.
FIGURA 5 Circuito equivalente utilizando fuentes de alimentación.
Recuerde que Q0 es una carga inicial en cualquier tira cuya magnitud cambia por el proceso de inducción. Esto significa que la carga Q0 de las fuentes de corriente no es constante, sino que varía con el tiempo debido a su interacción con las tensiones opuestas de los condensadores.
Para incluir este proceso en el circuito, debemos recordar que, en el proceso de inducción, los condensadores Cx y Cy interactúan entre sí mediante su capacitancia mutua en un proceso secuencial. La magnitud de la carga inducida depende, entre otros factores, de la tensión de la tira inductora. Dado que este potencial, referido a tierra, es aproximadamente igual a la tensión de salida del condensador (Cp o Cn), podemos decir que Q0 en las fuentes de corriente debe cambiarse a otra proporcional a la tensión del condensador. Esto significa que tenemos una nueva carga Q'0 = kVC, donde VC es la tensión del condensador y k es una constante que depende del área de la tira, la separación entre las tiras y otros factores. Por lo tanto, las fuentes de corriente de la figura 6 son en realidad fuentes de corriente dependientes de la tensión. La fuente de la izquierda depende de la tensión Vn y la de la derecha de la tensión Vp. Su magnitud de corriente es, por lo tanto.
El circuito final se muestra en la figura 6.
FIGURA 6. Circuito equivalente de la máquina de Wimshurst.
El signo negativo en la fuente izquierda indica la polaridad correcta en el condensador Cp. Estas fuentes de corriente dependientes ilustran claramente el mecanismo de retroalimentación presente en la máquina de Wimshurst.
Es posible prever que los voltajes Vp y Vn aumentarán exponencialmente si los condensadores tienen cargas iniciales. Como se ha demostrado, al aplicar una fuente de corriente constante a un condensador, el voltaje aumentará linealmente. Sin embargo, si las fuentes no son constantes, sino que aumentan con el tiempo, el voltaje aumenta más rápido que linealmente. De hecho, si se resuelve el circuito, se puede demostrar que Vp y Vn crecen de forma hiperbólica.
La Figura 7 muestra la solución del circuito para Vp con condición inicial simétrica y C = 1 nF, Vp(0) = 1, Vn(0) = -1 V y mFK = 10-9.
FIGURA 7. El comportamiento del voltaje hiperbólico de Vp.
Esta solución es
El circuito mostrado representa solo una aproximación al comportamiento real de la máquina de Wimshurst. Algunos factores secundarios que no se han considerado son:
La carga inducida en una tira no se debe solo a la tira frontal, sino también a las tiras adyacentes.
En todos los condensadores considerados existe alguna carga de fuga.
Las capacitancias de la tira no son realmente constantes.
CONCLUSIÓN
El proceso de generación de alto voltaje en una máquina de Wimshurst involucra tres conceptos interrelacionados: inducción electrostática, recarga de capacitores y retroalimentación eléctrica. Al traducir estos conceptos a un circuito eléctrico que contiene capacitores, interruptores y fuentes de corriente, es posible mejorar la comprensión del funcionamiento de este aparato y facilitar su análisis. El circuito mostrado cumple con estas características y también permite la evaluación cuantitativa de su rendimiento.
REFERENCIAS
[1] De Queiroz A. C. M., Operation of the Wimshurst Machine (2007), http://www.coe.ufrj.br/~acmq/whyhow.html Consulted: September 03, 2013
[2] Masluk, N. A; How a Wimshurst Machine Works; http://www.randombytes.net/files/wimshurst_machine.pdf Consulted: September 05 2013
[3] Simon, A. W., On the Quantitative Theory of Electrostatic Systems; Phys. Rev. 28, 111-117 (1926)
[4] Simon, A. W., On the Quantitative Theory of the Wimshurst Static Machine; Rev. Sci. Instrum. 4, 67-74 (1933).
[5] Zahn, M., Goslin, R. L. and Wicks, L. F., SelfExcited, Alternating, High-Voltage Generation Using a Modified Electrostatic Influence Machine, American Journal of Physics 42, 289-294 (1974).
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